назад

далее

3.13. Кинетика коагуляции и структурирования

3.13.1. Введение

Принципиальное отличие неустойчивой к коагуляции системы от устойчивой состоит в том, что состояние первой непрерывно изменяется. Описание свойств такой системы требует введения величин и параметров, которые являются функциями времени. Важнейшая из них — это гранулометрический состав (грансостав) дисперсной системы. Он непрерывно изменяется в сторону увеличения количества крупных частиц за счет уменьшения числа мелких частиц вследствие слипания последних. Типичная постановка задачи нахождения грансостава в произвольный момент времени предполагает, что в исходном состоянии (до начала коагуляции) система была монодисперсной. Допустимость такого упрощения обусловлена тем, что диапазон размеров частиц коагулированной суспензии в принципе не ограничен, и исходную систему с удовлетворительной точностью можно считать монодисперсной.

Гранулометрический состав коагулирующей дисперсной системы в любой момент времени в принципе может быть вычислен с помощью фундаментальных уравнений кинетики коагуляции Смолуховского. Однако для реализации этой возможности необходимо с помощью других уравнений учесть изменение в процессе коагуляции ряда параметров, влияющих на скорость коагуляции, в некоторых случаях даже на направление этого процесса. Прежде всего, это изменение структуры частиц, поскольку вместо монолитных исходных частиц при коагуляции образуются более или менее рыхлые флокулы. Их размер, гидродинамические свойства, плотность, концентрация, скорость оседания с одной стороны влияют на процесс коагуляции, а с другой стороны они сами определяются ходом коагуляции. Таким образом, коагуляция, структурирование, оседание частиц оказываются разными сторонами единого сложного процесса структурных превращений дисперсной системы. Задача заключается в нахождении параметров и способов, с помощью которых можно описать этот процесс всесторонне. С этой целью первоначально необходимо рассмотреть по отдельности каждый из основополагающих процессов — коагуляцию дисперсной системы, ее структурирование и расслоение под действием силы тяжести — и затем найти связь этих процессов.

3.13.2. Элементы кинетики коагуляции

Скорость коагуляции выражается числом частиц, исчезающих за единицу времени в единице объема, т. е. это производная dn/dt от концентрации частиц n по времени t. При быстрой коагуляции, условием которой является равенство нулю потенциального барьера, любое столкновение частиц приводит к их слипанию. В этом случае скорость коагуляции описывается формулой

dn/dt = –q. (3.13.1)

Здесь q — число столкновений между частицами в единице объема за единицу времени. Кинетическая теория дает, как известно, q = 8pDRn2, где D — коэффициент диффузии частиц и R — радиус взаимного захвата, т. е. расстояние, начиная с которого дальнейшее поведение частиц определяется не их случайными блужданиями, а взаимодействием.

В рамках теории устойчивости коллоидов (теории ДЛФО) радиус захвата — это расстояние между центрами частиц R, которому отвечает максимум на потенциальной кривой их взаимодействия. При этом чаще всего величина зазора между поверхностями частиц много меньше радиуса частиц a, поэтому с хорошей точностью можно считать, что R = 2a. Коэффициент диффузии D = kT / 6ph a также определяется радиусом частиц, поэтому частота столкновений q оказывается не зависящей от их размера:

q = 8n2 / 3h . (3.13.2)

Именно благодаря этому обстоятельству уравнение (3.13.1) легко интегрируется. В общем же случае частота столкновений зависит от размера частиц.

Если потенциальный барьер взаимодействия частиц не равен нулю, то не каждое столкновение частиц приводит к их слипанию (явление медленной коагуляции). Если ввести долю w эффективных (приводящих к слипанию) столкновений, то получится уравнение кинетики коагуляции

dn/dt = –wsn2. (3.13.3)

В этом уравнении s = 8kT / 3h — кинетический коэффициент уравнения кинетики коагуляции. Интегрирование уравнения (3.13.3) по времени в пределах от t = 0, когда концентрация частиц имеет некоторое начальное значение n0, до произвольного момента времени t и соответствующей ему концентрации n дает (1/n – 1/n0) =  wst или:

n = n/ (1 + t / t*), (3.13.4)

где t* = wsn0 — некоторое характерное время процесса коагуляции. Согласно полученному уравнению, при t = t* получаем n = n0/2, т. е. время, за которое концентрация уменьшается вдвое, и называется оно временем половинной коагуляции. Если выразить коэффициент диффузии с помощью формулы Эйнштейна: D = kT / 6p h a, где h — вязкость среды, а радиус захвата через радиус частиц a, т. е. R = 2a, то время половинной коагуляции можно описать формулой

t* = 3h / 8kТn0w. (3.13.5)

Следует иметь в виду, что левая часть формулы (3.13.4) представляет собой общую концентрацию флокул всех размеров. В их число входят и первичные частицы и флокулы, которые могут состоять из десятков или сотен слипшихся первичных частиц. Каждая из флокул, независимо от размера, выступает как отдельная кинетическая единица, способная сталкиваться с любой другой флокулой или первичной частицей, внося вклад в общую скорость коагуляции.

Состояние коагулирующей взвеси в любой момент времени удобно характеризовать средним числом первичных частиц в одной флокуле m = n/ n. Согласно формуле (3.13.4),

m = 1 + (t / t*). (3.13.6)

Одновременно это число имеет смысл безразмерного времени от начала процесса коагуляции, выраженного в периодах полураспада раствора t*. Параметр m является также относительной средней массой флокул и характеристикой их размера.

В рамках простейшего варианта теории Смолуховского, в котором кинетический коэффициент не зависит от размера флокул, можно также вычислить концентрацию флокул любого размера в произвольный момент времени. Однако более актуальным является решение другой задачи — нахождение геометрических характеристик флокул, в первую очередь их размера и зависимости кинетического коэффициента от размера флокул.

3.13.3. Фрактальная размерность и структура флокул

В основе разнообразных коагуляционных превращений дисперсных систем лежит фиксация взаимного положения частиц за счет их слипания. Она может охватывать только небольшие группы частиц (флокулы), а может распространяться на все частицы дисперсной системы. В последнем случае образуется сплошная сетка из взаимосвязанных частиц. Флокулы можно в этом смысле считать фрагментами будущей сплошной сетки. В молекулярной физике аналогичная совокупность связанных атомов называется кластером.

Связь между числом частиц в одной флокуле m, размером частиц r и размером флокулы l (рис. 3.90) выражается формулой [27]:

m  (l / r)f . (3.13.7)

Показатель степени f этой формулы называется фрактальной размерностью флокул, а саму формулу следует рассматривать как определение понятия «фрактальная размерность». Размер частиц здесь представлен длиной связи r соседних частиц, которая часто совпадает с диаметром частиц 2a. В качестве геометрического размера флокулы выступает диаметр l описанной вокруг флокулы сферы. Для наглядности можно считать, что флокула помещена в сферический контейнер указанного размера с жесткими непроницаемыми стенками.

Рис. 3.90. Геометрические характеристики флокулы:
l — размер и r —длина элементарного звена

Фрактальная размерность характеризует плотность заполнения контейнера связанными частицами: чем больше фрактальная размерность, тем более плотную структуру имеет флокула. Физический (точнее, геометрический) смысл, диапазон значений этого параметра и некоторые закономерности можно уяснить из приводимых ниже примеров флокул с регулярной структурой.

При описании структуры флокул целесообразно использовать понятие ее «элементарной ячейки» — блока из минимального числа связанных частиц, который отражает в себе все геометрические особенности более сложных структур, строящихся по типу элементарной ячейки. Простейший вид структуры — это линейная цепочка частиц (рис. 3.91, а). В цепочке любой длины m = l / r и, следовательно, f  = 1. При заполнении всего объема произвольной трехмерной фигуры по любому периодическому закону — с гексагональной (рис. 3.91, б), кубической (рис. 3.91, в) или иной структурой элементарной ячейки — число частиц m внутри фигуры равно отношению ее объема l3 к объему ячейки r3, занятой одной частицей, т. е. m = (l / r)3. В этом случае, согласно формуле (3.13.7), фрактальная размерность f - 3.

Рис. 3.91. Варианты заполнения полости частицами:
а — самое рыхлое (f = 1); б, в — самое плотное (f = 3)

При заполнении пространства связанными частицами с некоторой промежуточной плотностью упаковки фрактальная размерность флокулы (фрактальность) будет иметь некоторую промежуточную (между 1 и 3) величину. Таким образом, значение фрактальности трехмерных структур должно находиться в диапазоне от 1 до 3.

Понятие «фрактальность» является обобщением понятия размерности пространства, причем она может иметь и дробную величину. Последнее обстоятельство объясняет происхождение терминов «фрактальная размерность», «фракталы» (объекты с фрактальными свойствами) и др. Они происходят от слова fraction — часть (имеется в виду часть целого числа).

По способу образования фракталы — это иерархические объекты, возникающие при связывании в единое целое объектов предыдущего поколения по тем же геометрическим правилам, по которым устроен объект предыдущего поколения. Самым младшим из них является элементарная ячейка, состоящая из монолитных первичных частиц. Старшие (i-е) члены иерархии имеют ту же структуру, что и элементарная ячейка, но ее элементами являются не первичные частицы, а флокулы предыдущего (i–1)-го поколения. В этом заключается свойство геометрического подобия структур разного порядка.

Примеры регулярных плоских (двухмерных) фрактальных флокул показаны ниже на серии рис. 3.92–3.95. Самый мелкий элемент фрактальной структуры, который выглядит на приведенных рисунках как монолитная частица, может в действительности оказаться флокулой и иметь ту же структуру, что и более крупный фрагмент, показанный на рисунках. Конечно, это может оказаться и монолитной элементарной частицей.

Рис. 3.92. Построение регулярных фракталов на основе элементарных ячеек со структурой трехлучевой звезды (а)
и креста (б). Первая не может, а вторая может образовывать флокулы следующего поколения

Рис. 3.93. Флокула третьего поколения на основе элементарной ячейки гексагональной структуры

Рис. 3.94. Двухмерная схема объемной флокулы третьего поколения с кубической формой полости на основе элементарной 27-частичной кубической ячейки

Рис. 3.95. Двухмерная схема объемной флокулы третьего поколения с кубической формой полости на основе элементарной 8-частичной кубической ячейки

Если структура имеет регулярный характер, то это дает возможность предсказать связь между числом частиц во флокуле и ее размером и, следовательно, вычислить фрактальную размерность флокулы.

Однако не для всяких типов элементарных ячеек это полезно и просто. Чтобы формула (3.13.7) сохраняла силу вплоть до флокулы размером в одну частицу, т. е. и при m = 1, геометрический центр иерархии структур должен быть всегда занят одной частицей. Структура, показанная на рис. 3.95, этому условию не удовлетворяет — ее геометрический центр частицей не занят (занят полостью между четырьмя частицами). На рис. 3.94 и 3.95 некоторые блоки только намечены, их внутренняя структура идентична структуре полностью прорисованных блоков. Еще более важное требование к структуре флокул состоит в том, что она должна включать только связанные частицы, а это значит, что связь флокул младшего поколения внутри флокулы старшего поколения осуществляется только через непосредственный контакт первичных частиц.

В случае ячейки типа трехлучевой звезды (рис. 3.92, а) это требование оказывается несовместимым со свойством геометрического подобия для флокул третьего поколения и старше. То же самое относится к ее трехмерному аналогу — объемно центрированному тетраэдру (структура молекулы метана и решетки алмаза). Четырехлучевая плоская звезда (рис. 3.92, б) и ее трехмерный вариант (объемно центрированный куб — ОЦК), гексагональная плоская (рис. 3.93) и трехмерная ячейки удовлетворяют всем перечисленным требованиям. Центральная частица ОЦК (рис. 3.92, б) имеет 8 ближайших соседей (координационное число z = 8), а количество частиц в элементарной ячейке q = z + 1 равно 9. Диаметр l сферы, в которую вписывается эта ячейка, равен трем диаметрам частиц (l = 3r).

Отношение k = l / r диаметра l элементарной ячейки к диаметру r частицы равно 3 независимо от структуры элементарной ячейки при условии, что ее центр также занят частицей. Требование связанности всех частиц в элементарной ячейке и равенства числа частиц, связанных с центральной, координационному числу z означает, что центральная частица всегда окружена слоем соседей толщиной в один диаметр частицы и поэтому диаметр ячейки всегда будет в три раза больше диаметра ее ядра — структурной единицы (частицы или контейнера), занимающей центр ячейки.

Структура второго поколения (рис. 3.92, б) сохранит те же пропорции между параметрами этой структуры и структуры предыдущего поколения. В итоге в структуре ОЦК второго поколения (i = 2) число m первичных частиц будет равно 81 (т. е. 92). В общем случае в иерархической структуре i-го порядка:

m = qi. (3.13.8)

Размер контейнера li, вмещающего эту структуру из 81 частицы, увеличится еще в k раз по сравнению с размером li – 1 контейнера предыдущего поколения (li = kli – 1), поэтому:

l / r = ki. (3.13.9)

При логарифмировании формул (3.13.8) и (3.13.9) и исключении из них номера поколения i получается выражение lnm = ln(l / r) (lnq / lnk) или формула

m = (l / r)lnq / lnk. (3.13.10)

Отсюда, в соответствии с определением фрактальной размерности (3.13.7), видно, что:

f = lnq / lnk. (3.13.11)

Следовательно, для регулярных фрактальных флокул с элементарной структурной ОЦК f = (ln9 / ln3) = 2. Фракталы с элементарной ячейкой гексагонального типа (k = 3, q = 13) имеют размерность f  = 2,335 =  (ln13 / ln3).

Фрактальная структура, которую можно построить из элементарных ячеек не сферической, а кубической формы из 27 частиц (рис. 3.94), имеет размерность f  = (ln27/ln3) = 3, что и следовало ожидать, поскольку она соответствует полному заполнению трехмерного пространства частицами. Если ту же кубическую ячейку заключить в описанную вокруг нее сферу и, как и во всех других случаях, создавать структуру следующего поколения из таких элементарных ячеек, заключенных в сферический контейнер, то фрактальность будет заметно меньше: f  = 2,25 [ln27 / ln(30,5)]. Здесь учтено, что диаметр описанной вокруг куба сферы равен диагонали куба, которая в 30,5 раза больше его ребра. В соответствии с общими правилами структура строится так, чтобы сферы, очерчивающие соприкасающиеся ячейки предыдущего поколения, не пересекались и расстояние между частицами, обеспечивающими связь соседних ячеек, было таким же, как внутри ячейки. В данном случае это означает, что блоки кубической формы связаны между собой вершинами кубов.

Почти все, что сказано о параметрах фракталов, образованных из 27-частичной элементарной кубической ячейки (рис. 3.94), справедливо и для структур, образованных из 8-частичной (рис. 3.95) ячейки. В частности, фрактальность структур из ячеек кубической формы будет равна 3(ln8 / ln2). Различие лишь в том, что основное соотношение фрактальной геометрии флокул (3.13.7) будет справедливым только при большом числе частиц во флокуле, поскольку центр кубической элементарной ячейки из 8 частиц не занят частицей. Поэтому случай m = 1 явно не может быть реализован. Впрочем, и во всех других случаях результаты расчетов абсолютно точны, если флокула имеет завершенную структуру, т. е. содержит столько же флокул младшего поколения, сколько первичных частиц элементарная ячейка. Практически это означает, что число частиц во флокуле должно строго соответствовать формуле (3.13.8).

В остальных случаях возникают отклонения в большую или меньшую стороны с примерно равной вероятностью, поэтому в среднем эта ошибка нивелируется. Это обстоятельство (статистически правильные результаты при наличии заметных отклонений в описании свойств отдельных флокул) позволяет перенести выявленные на регулярных структурах закономерности на структуры случайной формы, образующиеся при коагуляции. Статистически принцип подобия структур младшего и старшего поколений при коагуляционном укрупнении флокул выполняется, так как закон коагуляции остается неизменным по мере укрупнения флокул. Величина фрактальной размерности при этом становится эмпирическим параметром, хотя возможны и ее теоретические расчеты на базе тех или иных предположений о значении параметров q и k в формуле (3.13.11). Эта область физики и химии коллоидов интенсивно развивается, главным образом в направлении компьютерного моделирования процесса коагуляции.

3.13.4. Параметры состояния коагулирующей взвеси и условие структурирования

По мере укрупнения флокулы становятся более рыхлыми. Характеристикой флокул в этом отношении может служить внутрифлокулярная концентрация — объемная доля дисперсной фазы внутри флокулы j in = mr3 / l3. Размер флокулы l, в соответствии с формулой (3.13.7), выражается через число частиц в ней:

l = rm1/f . (3.13.12)

Если раскрыть с помощью этой формулы величину l в выражении для j in, то получится уравнение

jin = m(f – 3)/f . (3.13.13)

Рыхлые флокулы занимают во взвеси значительно большую долю объема j m, чем сами частицы дисперсной фазы: j m = nl3, где n — концентрация флокул (1/м3). Выполнив ту же замену, что и в предыдущем случае, а также имея в виду, что произведение n0r3 концентрации первичных частиц n0 на куб их размера r3 — это объемная доля дисперсной фазы во взвеси j , можно получить формулу

j m = jm (3 – f)/f. (3.13.14)

Как и следовало ожидать jinj m = j .

Согласно формуле (3.13.14), доля объема, занимаемого во взвеси флокулами, растет по мере укрупнения флокул неограниченно. В действительности эта величина не может быть больше единицы.

Условие:

j m = 1 (3.13.15)

— это условие заполнения флокулами всего объема дисперсной системы, т. е. условие их слияния в единую, сплошную структурную сетку из взаимосвязанных частиц. Иначе говоря, это условие структурирования взвеси частиц. При этом всякие коагуляционные процессы прекращаются.

Из соотношений (3.13.14) и (3.13.15) можно найти критическое число частиц mc в одной флокуле, при котором происходит структурирование:

mc = (1/j)f/(3 f). (3.13.16)

Формула (3.13.17) позволяет найти соответствующий ему размер флокул lc, т. е. размер фрактальных доменов, из которых состоит структурная сетка. Этот параметр играет важную роль при рассмотрении реологических свойств дисперсных систем:

lc = r (1/j)1/(3 f). (3.13.17)

Время t достижения того или иного состояния можно легко найти с помощью формулы (3.13.6): t = (m – 1)t*, подставляя сюда соответствующие величины m и времени коагуляции t*. В частности, время tc перехода коагулирующей взвеси в структурированное состояние описывается формулой

tc = (mc – 1)t*. (3.13.18)

Структурирование — одно из видимых и важных проявлений процесса коагуляции. Оно возможно, когда этот процесс заходит достаточно глубоко. Другое универсальное проявление коагуляции, которое заметно уже на начальном этапе коагуляции, — это ускорение процесса расслоения взвеси на две или большее число фаз: осадок, взвесь и свободную от частиц среду. Принципиальное отличие оседания коагулирующей взвеси от оседания агрегативно устойчивой взвеси заключается в том, что как скорость этого процесса, так и концентрация оседающей субстанции при коагуляции изменяется во времени. Под субстанцией подразумеваются и первичные частицы взвеси, и флокулы, и сплошная структурная сетка, которая также подвержена оседанию (уплотнению) под действием силы тяжести.

Описание этих двух важнейших для технологии процессов — коагуляции и оседания дисперсных систем — не может быть полным и всесторонним, если их рассматривать по отдельности. Коагуляция через размер флокул и долю занимаемого ими пространства влияет на скорость оседания дисперсной фазы. Скорость коагуляции в свою очередь зависит от концентрации флокул (частиц) и их размера, которые непрерывно меняются как в пространстве, так и во времени, в том числе за счет оседания. Система уравнений, описывающих эти взаимосвязанные процессы, поддается только численному решению на вычислительных машинах. Соответствующие программы существуют, способны функционировать на персональном компьютере под управлением стандартного программного обеспечения и представлять получающиеся зависимости в наглядном виде. Однако это не устраняет необходимости в аналитического описания тех же зависимостей. Только простые и обозримые формулы позволяют проследить влияние различных условий и физических процессов на эволюцию дисперсной системы и на ее состояние в произвольный момент времени и по окончании всех процессов. Однако получить такие зависимости можно при достаточно сильном упрощении задачи.

Очевидно, что многие свойства коагулированных дисперсных систем зависят от гидродинамических характеристик флокул. Наглядная и практически полезная демонстрация такой зависимости приведена ниже на примере оседания флокул в поле силы тяжести.

3.13.5. Скорость оседания флокул

Для описания процесса оседания коагулирующей взвеси необходимо располагать выражением для скорости um движения флокулы под действием силы тяжести. Естественно при этом предположить, что к флокулам любого порядка m можно применить формулу Стокса

um = 2 Drm gR2 / 9h . (3.13.19)

В ней радиус частиц a заменен на радиус флокул R, а разность плотностей Dr частиц r и среды r0 — на разность плотностей Dr m флокул rm и среды. Такая замена предполагает, что рыхлую флокулу можно в гидродинамическом отношении считать сплошным телом. Справедливость этого предположения требует обоснования. В связи с этим необходимо условиться относительно критерия гидродинамической сплошности движущегося в некоторой среде объекта. Для этого введем понятие «облако» как область повышенной концентрации частиц, граничащей с той же средой, которая является частью облака. Очевидное свойство облака — его способность двигаться относительно среды как единое целое, не смешиваясь с ней. В то же время можно наблюдать и такие области повышенной концентрации частиц, которые довольно быстро рассеиваются, смешиваясь со средой (например, выбросы дыма из трубы). На языке количественных понятий это различие означает, что облако способно двигаться относительно
окружающей его среды быстрее, чем отдельные частицы, образующие облако. Его можно характеризовать размером R и объемной долей jin дисперсного вещества в облаке.

Плотность облака rm, как и любой дисперсной системы, определяется плотностью дисперсной фазы r и ее долей jin в облаке:

rm = r0 + jinDr , (3.13.20)

где Dr = rr0 — разность плотностей дисперсной фазы и среды r0. С помощью формулы Стокса легко найти отношение скоростей оседания облака, как сплошного объекта, и одной частицы в одинаковой среде. Оно очевидно равно jinR2 / a2, где a — размер частиц, образующих облако. Отсюда следует, что это отношение больше единицы, т. е. облако будет двигаться быстрее отдельной частицы при условии

jin > (a / R)2. (3.13.21)

Полученное неравенство имеет более общий смысл. Оно выражает условие перехода от миграционного к гидродинамическому режиму движения (смешивания) сред разного состава. Например, сточных вод, сбрасываемых в водоем, или выбросов дыма и пыли в атмосферу. В силу своей универсальности условие (3.13.21) может по-разному толковаться в разных ситуациях.
В связи с задачей коагуляции оно означает, что флокула при движении обтекается средой как сплошное тело. Ее гидродинамический размер R можно в таком случае приравнять размеру l сферы, вмещающей флокулу. При фрактальной структуре флокулы ее размер R и число первичных частиц m во флокуле связаны, согласно определению понятия «фрактальная размерность» флокулы, соотношением m = (R / a)
f, а средняя внутрифлокулярная концентрация дисперсной фазы в ней jin = m(f – 3)/f. Если выразить эту концентрацию через размер флокул jin = (a / R)3 – f и подставить ее в условие (3.13.21), то легко видеть, что оно сводится к неравенству (a /R)3 – f > (a / R)2. Так как a < R, то оно будет выполняться при f > 1, т. е. всегда, за исключением случая линейных цепочечных агрегатов, когда f = 1 и скорости цепочки и частицы совпадают. На этом основании фрактальная флокула может считаться сплошным телом (только в гидродинамическом смысле), и тогда к ней можно применить формулу Стокса (3.8.3). При выполнении в этой формуле ряда подстановок: R = am1/f, R2 = am2/f, Drm = Drm(f – 3)/f и, наконец, R2Drm = Dra2m(f – 1)/f получаются выражения

um = (2Drga2 / 9h) m(f – 1)/f (3.13.22)

или

um = um (f – 1)/f. (3.13.23)

Здесь u = 2Drga2 / 9h — скорость оседания единичной частицы. Как видно из полученных формул, скорость оседания фрактальных флокул всегда больше в m(f – 1)/f раз, чем скорость оседания индивидуальных частиц (кроме случая f = 1 — простой цепочки), т. е. коагуляция будет ускорять оседание взвеси. Заметим также, что фрактальные флокулы являются, вероятно, наиболее рыхлыми структурами взаимосвязанных частиц. Плотность иных (не фрактальных) флокул, если таковые существуют, будет, по всей видимости, не меньше плотности фрактальных флокул, и поэтому можно полагать, что они при любой структуре оседают быстрее индивидуальных частиц. По этой причине в дальнейшем не будет подчеркиваться, что речь идет о фрактальных флокулах. Их преимущество в том, что имеется однозначная связь между размером и массой флокул.

Итак, относительная масса флокул m (число первичных частиц в одной флокуле) является определяющим параметром по отношению к важнейшим свойствам дисперсных систем и протекающим в них процессам. Особенность этого параметра в том, что он никогда не остается постоянным. В неустойчивых к коагуляции системах он непрерывно и неограниченно растет. Так, по крайней мере, обстоят дела при классическом описании процесса коагуляции, игнорирующем структурные свойства флокул.

3.13.6. Альтернатива: расслоение или структурирование

В процессе оседания частиц коагулирующей взвеси в общем случае формируются минимум три разных слоя: осадок, взвесь и свободная от частиц среда. В дальнейшем будет предполагаться, что плотность дисперсной фазы выше, чем плотность среды. Поэтому слой осадка высотой Hs расположен в нижней части сосуда, слой свободной от частиц среды высотой HL (в дальнейшем «жидкость») остается в верхней части сосуда и собственно взвесь занимает остальную, среднюю часть сосуда. Высота слоя взвеси равна, очевидно, H – (Hs + HL), где H — высота сосуда, точнее столба исходной взвеси, с равномерно распределенной дисперсной фазой с концентрацией j . По умолчанию принимается также, что среда является жидкой, а дисперсная фаза — твердым веществом, т. е. рассматривается расслоение суспензий или золей. Предполагается наличие четкой границы, разделяющей соседние слои суспензии (рис. 3.96). На практике они не всегда видимы, но теоретически существуют, хотя деление на взвесь и осадок может осуществляться по разным признакам. В этом подразделе осадком считается та часть суспензии в нижней части сосуда, где флокулы плотно уложены под действием силы тяжести и образуют сплошную структурную сетку. Иначе говоря, осадок — это часть дисперсной системы, где j m = 1.

Рис. 3.96. Формирование осадка (НS) в коагулирующей суспензии, слоя взвешенных
над ним флокул, где коагуляция продолжается, и слоя жидкости (НL), свободной от частиц суспензии:
Н — первоначальная высота столба суспензии

Сетка обладает необходимой прочностью и не уплотняется под действием собственного веса. Концентрация дисперсной фазы в осадке и в прилегающем слое взвеси не изменяется скачком, и поэтому визуально эта граница может быть и незаметна. Наоборот, граница взвеси и жидкости должна быть, согласно принятой модели процесса, четко видна. Это согласуется с экспериментально установленными закономерностями оседания коагулирующих взвесей.

Согласно формуле (3.8.35), скорость накопления осадка dHs/dt = umj m. Раскрыв входящие сюда величины с помощью формул (3.13.14) и (3.13.23), можно получить уравнение dHs/dt = uj m2/f, которое легко интегрируется после замены dt = t*dm, вытекающей из равенства m = 1 + t / t*. Считая, что начало оседания совпадает с началом коагуляции, интегрировать следует в пределах от m = 1 (t = 0) до некоторого текущего числа частиц m во флокуле (текущего момента времени). В сущности, величина m здесь выступает как безразмерное время, длительность которого выражается в периодах коагуляции t*. В итоге получается выражение для толщины слоя осадка [12]:

Hs = ujt* [f /  (f + 2)] [m (f + 2)/f – 1];

j s = m (f – 3) / f. (3.13.24)

Здесь же приведена формула для концентрации дисперсной фазы в осадке js на высоте Hs.

Она совпадает с концентрацией дисперсной фазы j in (формула (3.13.13)) внутри флокул в момент их соприкосновения с осадком. Таким образом, эта пара формул дает в параметрическом виде зависимость концентрации дисперсной фазы от высоты внутри осадка. Важно, что в отличие от осадков в устойчивых к коагуляции взвесях (см. подраздел 3.8.3) здесь концентрация переменна по высоте, причем на дне j in = 1, а на границе со взвесью совпадает с концентрацией дисперсной фазы во взвеси j. Несмотря на оседание флокул, их концентрация внутри столба взвеси постоянна по высоте, так как все они оседают с одинаковой скоростью.

Скорость продвижения dHL/dt границы между взвесью и слоем свободной от частиц жидкости равна, согласно формуле (3.8.28), um(1 – j m). Целесообразно, однако, вычислить сумму скоростей движения этой границы и границы осадок—взвесь: dHq/dt = dHs/dt + dHL/dt, которая является скоростью их сближения и одновременно скоростью сокращения высоты слоя взвеси. Она оказывается равной величине um. Интегрирование выражения (3.13.23) по времени с помощью той же замены dt = t*dm, что и в предыдущем случае, дает суммарную толщину Hq слоя осадка и жидкости:

Hq = ut* [f /  (2f – 1)] [m (2f – 1)/f – 1], (3.13.25)

что позволяет вычислить высоту слоя жидкости над слоем взвеси:

HL = HqHs. (3.13.26)

На рис. 3.97. показана зависимость от времени высоты осадка и положения нижней границы слоя чистой жидкости над столбом взвеси, построенная по этим формулам.

Рис. 3.97. Кинетика оседания коагулирующей суспензии:
1 — высота слоя осадка (Нs); 2 — координата нижней границы слоя свободной от частиц жидкости (ННL)

Очевидно, что процесс оседания завершится, когда взвесь полностью перейдет в осадок, и тогда суммарная толщина Hq слоя осадка и слоя жидкости станет равной высоте H всего столба суспензии. При подстановке Hq = H в уравнение (3.13.25) и решении его относительно размера флокул m получается значение числа частиц во флокуле mp, при котором завершится процесс оседания:

. (3.13.27)

Соответственно, время завершения процесса расслоения tp будет:

tp = (mр – 1)t*. (3.13.28)

Полное расслоение или структурирование представляют собой альтернативные варианты завершения эволюции коагулирующей взвеси. Фактически эволюция завершится тем исходом, который наступит раньше. Если tp < tc, то расслоение произойдет до перехода взвеси в структурированное состояние. В обратном случае полного расслоения не произойдет — взвесь перейдет в структурированное состояние и на этом все процессы в дисперсной системе прекратятся. Эквивалентным образом лимитирующий процесс эволюции выбирается по значениям критических значений mp и mc флокул средних размеров. Таким образом, соотношение (3.13.29) представляет собой условие доминирования структурирования над расслоением:

mc < mp. (3.13.29)

К моменту структурирования на дне сосуда образуется слой осадка, толщина которого определяется формулой (3.13.24) при подстановке в нее m = mc. Аналогично с помощью формул (3.13.25) и (3.13.26) вычисляется толщина слоя жидкости над структурированным столбом суспензии и далее высота столба структурированной суспензии. Легко убедиться, что при mc £ mp толщины осадка и слоя жидкости составляют пренебрежимо малую величину по сравнению с высотой Hc = H – Hq столба структурированной взвеси. В общем случае соотношение между высотами каждого из трех слоев (осадок, структура и жидкость) может быть произвольным (рис. 3.98). Распределение дисперсной фазы в осадке определяется, как уже отмечалось, парой уравнений (3.13.24).

Полученные выше критерии эволюции взвеси основывались на предположении, что флокулы, как и коагуляционная структурная сетка, имеют достаточно высокую прочность. Детально механические свойства флокул и осадков [14] рассматриваются ниже (подраздел 3.14) в разделе реологии тиксотропных систем. Здесь же следует учесть, что флокулы имеют ограниченную прочность, которая определяется прочностью fc контактов соседних частиц во внутрифлокулярных цепочках связанных частиц.

Рис. 3.98. Распределение дисперсной фазы по высоте
по окончании процесса коагуляции в условиях его лимитирования структурированием:
Нs — высота слоя осадка; Нс — высота столба структурированной суспензии;
Н — первоначальная высота столба суспензии; j — ее коцентрация

Как было показано выше, плотность флокул, а следовательно, и среднее число контактов на единицу объема флокулы уменьшается с увеличением их размера. Пропорционально этому снижается и прочность флокул по мере увеличения их размера. В то же время на флокулу действует сила ее собственного веса, которая при оседании в вязкой среде преобразуется в гидродинамическую силу — силу трения о поверхность набегающих потоков жидкости флокулы. Этот поток смывает с поверхности флокулы ее внешние наиболее рыхлые слои до тех пор, пока сила сцепления частиц не сравняется с силой трения, приходящейся на одну частицу. Последняя оказывается равной силе веса fg одной частицы, так что указанное равенство сил определяет гравитационно-равновесный размер флокул:

mg = fc / fg. (3.13.30)

В итоге неравенство, выражающее (3.13.29) доминирование структурирования или расслоения в эволюции коагулирующей дисперсной системы, сохраняет свою силу при выполнении двух дополнительных условий:

mg > mc и mg > mp. (3.13.31)

Если окажется, что mg <  mc и mg <  mp, то структурирования не произойдет, а будет идти оседание флокул, но уже с неизменной во времени скоростью:

(3.13.32)

и с постоянной плотностью образующегося на дне осадка. Возможны и другие комбинации трех основных параметров mg, mc и mp, лимитирующих процесс эволюции. В каждом случае его результат будет чем-то отличаться от результатов эволюции при других комбинациях этих параметров.

Несмотря на упрощения в описании кинетики коагуляции, в этом подразделе удалось выявить наличие ряда факторов, лимитирующих процессы коагуляции и оседания. Коагуляция, а с ней и размер флокул могут быть ограничены или структурированием, или расслоением взвеси, или достижением гидродинамически равновесного размера флокул. Лимитирующий фактор эволюции определяется рецептурно-геометрическими параметрами исходного состояния взвеси по соответствующим формулам. Полный вариант теории включает учет полидисперсности флокул при описании процесса коагуляции, структурирования и оседания с последующим уплотнением осадка и структурной сетки под действием силы тяжести. Описание уплотнения возможно только на основе законов деформирования структурированных дисперсных систем.

3.13.7. Уравнения кинетики коагуляции

Даже если в исходной дисперсной системе, склонной к коагуляции, все частицы первоначально имеют одинаковый размер, через некоторое время она превращается в полидисперсную систему, в которой спектр размеров частиц (точнее флокул) непрерывно изменяется, сдвигаясь в сторону укрупнения флокул.

Коагулирующая дисперсная система может быть представлена как совокупность флокул различного типа. В данном случае тип флокул — это число m первичных частиц во флокуле m-го типа. Оно может принимать значения от 1 до бесконечности.

Символами вида ni далее обозначаются численные (1/м3) концентрации частиц i-го типа, а символами вида sij — вероятность парного столкновения флокул типа i и j (при их концентрациях равных единице).

Фундаментальное уравнение кинетики коагуляции Смолуховского представляет скорость dnm/dt изменения концентрации nm флокул m-й фракции как сумму двух слагаемых:

. (3.13.33)

Первое — приращение их концентрации при парных столкновениях флокул i-го и (m – i)-го типов, которые выбраны так, что общее число частиц i + (m – i) в одной паре столкнувшихся флокул равно числу частиц m во вновь образующейся флокуле m-го типа. Второе слагаемое — это убыль концентрации флокул m-го типа за счет их столкновения с флокулами любого другого типа. Вероятность слипания столкнувшихся флокул принимается равной единице (условие быстрой коагуляции).

Основная проблема кинетики коагуляции полидисперсных систем состоит в том, что для описания процесса коагуляции необходимо составить и совместно решить столько уравнений типа (3.13.33), сколько фракций содержит полидисперсная система. Обычные способы математического описания гранулометрического состава предполагают наличие непрерывного спектра размеров, т. е. бесконечное число фракций, а следовательно, и уравнений. Решение системы уравнений в такой постановке невозможно. Эта трудность обходится упомянутым выше способом, т. е. непрерывное распределение представляется как совокупность конечного числа дискретных фракций [14].

Вероятность столкновения частиц непосредственно зависит не от коэффициента их диффузии, а от коэффициента взаимной диффузии частиц, который равен сумме коэффициентов диффузии частиц относительно среды и, следовательно, сумме обратных радиусов частиц (1/Ri + 1/Rj). Радиус захвата сталкивающихся частиц или флокул равен сумме их радиусов (Ri + Rj). Вероятность столкновения пропорциональна произведению этих двух величин, которое может быть выражено через отношение размеров частиц. Это приводит к известному выражению (формуле Мюллера) для вероятности sij парного столкновения частиц размером Ri и Rj в процессе их теплового движения:

. (3.13.34)

Применение этой формулы к флокулам предполагает, что в гидродинамическом отношении их можно считать сплошными телами. Допустимость такого предположения рассмотрена в подразделе 3.13.5. На основании этого уравнение (3.13.34) можно использовать и в случае рыхлых флокул. Отношение размеров Ri / Rj флокул можно, согласно формуле (3.13.12), заменить отношением числа частиц в них: (i j) в степени 1/f, а уравнение (3.13.34) — уравнением

. (3.13.35)

Оно, как и уравнение (3.13.34), при равенстве размеров (i = j) сталкивающихся частиц (флокул) сводится к формуле s = 8kT / 3ph для кинетического коэффициента уравнения коагуляции монодисперсной взвеси (см. подраздел 3.13.2).

Еще одна проблема чрезвычайно усложняет решение и без того сложной системы множества уравнений кинетики коагуляции с переменными коэффициентами sij. Это оседание частиц (флокул). Его роль становится тем сильнее, чем дальше заходит процесс коагуляции и чем шире становится спектр размеров флокул за счет увеличения количества крупных флокул. Их скорость оседания u заметно больше, чем скорость оседания мелких флокул. Различие в скоростях оседания разных флокул приводит к тому, что гранулометрический состав взвеси меняется не только во времени, но и по высоте h столба коагулирующей взвеси (см. подраздел 3.8). Следует отметить, что уравнение оседания полидисперсной взвеси даже без коагуляции не может быть решено аналитическими методами. Тем более это относится ко всей системе уравнений эволюции взвеси, включающей в себя уравнения коагуляции, уравнения оседания и уравнения материального баланса (сохранения) для всех фракций. Уравнения сохранения выражают тот факт, что суммарное изменение концентрации каждой фракции dnm/dt в некотором слое взвеси складывается из изменения nm/ t, обусловленного участием данной фракции в коагуляции, и из переноса (подвода и отвода) данной фракции частиц (флокул) (nmum)/ h, обусловленного различием ее потоков на границах слоя:

dnm/dt = nm/ t + (nmum)/ h. (3.13.36)

Существуют также концентрационные и временные ограничения применимости уравнений кинетики коагуляции. Они обусловлены возможностью перехода взвеси в процессе коагуляции в структурированное состояние или достижением флокулами гравитационно-равновесного размера (уравнение (3.13.30)). Заранее сформулировать конкретное условие структурирования невозможно, так как выполнимость общего условия структурирования: j e = 1 (заполнение всего пространства флокулами) не может быть проверена, прежде чем будут выполнены необходимые вычисления. В данном случае величина je представляет собой сумму объемных долей jei, занимаемых во взвеси флокулами каждого типа, а они могут быть получены только в результате совместного решения уравнений кинетики коагуляции и оседания флокул. Это возможно только численными методами, реализованными в соответствующей компьютерной программе. Алгоритм решения уравнений эволюции взвеси включает в себя корректирование хода вычислений при возникновении тех или иных особенностей состояния взвеси, в том числе и при ее переходе в структурированное состояние. В этом состоянии коагуляционные процессы прекращаются, и уравнения эволюции взвеси сводятся к уравнениям деформации неоднородного по свойствам структурного столба, которые рассматриваются ниже.

3.13.8. Динамика и кинетика уплотнения осадка

Рыхлая пространственная сетка из слипшихся частиц, возникающая в процессе коагуляции частиц и оседания флокул, может подвергаться самоуплотнению под действием собственного веса. Основная проблема, с решением которой связана возможность количественного описания этого процесса, — это проблема реодинамики структурированных дисперсных систем. Реодинамика представляет собой усложненный вариант гидродинамики. В отличие от гидродинамики реодинамика имеет дело с неньютоновской деформируемой средой.

Динамика уплотнения осадка [12] в общем случае определяется следующими силами, отнесенными к тонкому слою взвеси толщиной dH в сосуде радиусом R:

1. Его весом p R2dHD r mY g, где Y — объемная доля оседающей субстанции, D rm — разность плотностей оседающей субстанции и среды, g — ускорение свободного падения. Под субстанцией подразумеваются разные формы дисперсной фазы в слое взвеси — в виде отдельных частиц, в виде флокул или в виде фрагмента сплошной структурной сетки.

2. Разностью сил давления P верхней и нижней частей взвеси на верхнюю и нижнюю границы слоя p R2dP.

3. Силой трения слоя толщиной dH о стенки сосуда 2pRdHt , где t — удельная (на единицу площади) сила трения о стенки. По своему характеру это статическая сила, подобная сухому трению при скольжении твердого тела по поверхности другого тела. Она не зависит от скорости скольжения.

4. Силой вязкого сопротивления всех частиц (флокул) данного слоя p R2dH(Y / vm)bmum, где bm — коэффициент сопротивления движению частиц (флокул) в вязкой среде, vm — средний объем одной частицы (флокулы), um — скорость движения слоя и Y /vm — концентрация флокул (их число в единице объема). Такой способ описания сил вязкого сопротивления означает, что взвесь монодисперсна.

Баланс этих сил после сокращения общих величин во всех слагаемых дает уравнение

. (3.13.37)

Для решения задачи необходимо принять во внимание, что столб взвеси, независимо от его массы, не может воздействовать на нижележащие слои взвеси с давлением P, большим, чем прочность на сжатие Ps этого давящего столба. Более того, при статическом равновесии сжимаемой субстанции в поле силы тяжести давление P на любой высоте равно прочности Ps субстанции на продольное сжатие. При динамическом же равновесии избыточная часть полного давления столба DrmgY H компенсируется вязким сопротивлением (Y  / vm)bmum среды.

Если оседающая субстанция — это флокулы, то величина Y равна концентрации флокул j m, и тогда, согласно формуле (3.13.14), Y  = jme , где m — среднее число частиц в одной флокуле, а e  = (3 – f) / f. Разность плотностей флокул и среды D rm связана с разностью плотностей Dr дисперсной фазы и среды соотношением Drm = D rme , поэтому первое слагаемое в уравнении (3.13.37), равно Drgj .

Основной характеристикой структурированной дисперсной системы является ее прочность на сдвиг ts. Предполагается, что прочность коагуляционной сетки на сжатие Ps пропорциональна прочности той же сетки на сдвиг, т. е. Ps = Kts. Здесь K — некоторая константа, которая далее будет называться коэффициентом Пуассона, хотя она напоминает его только тем, что отражает соотношение между способностями материала к продольным и поперечным деформация. Указанная связь величин P, Ps и ts дает возможность заменить градиент давления градиентом прочности структуры.

Если использовать соотношение ts = tmj e (3.14.5) между прочностью ts рыхлой сетки и удельной (на единицу площади) силой сцепления tm соседних частиц, то из уравнения (3.13.37) следует уравнение

. (3.13.38)

Здесь и далее величина j обозначает концентрацию дисперсной фазы во взвеси, e  = 2/(3 -  f), f — фрактальная размерность флокул. Второе и третье слагаемые уравнения (3.13.38) отражают влияние прочности структурной сетки на скорость оседания um слоя взвеси. Причем второе слагаемое — это разность сил давления структурированного столба взвеси на верхнюю и нижнюю границы слоя толщиной dH, а третье — сила трения слоя о стенки сосуда. Роль последнего растет с уменьшением поперечного размера сосуда R.

Если выразить коэффициент трения флокул bm = bm1/f через коэффициент трения b одной первичной частицы, объем флокулы vm = vm3/f через объем v первичной частицы, а также ввести полученную ранее (уравнение (3.8.28)) поправку (1  -  jme) на встречное движение среды, то из уравнения (3.13.38) следует основное уравнение динамики слоя взвешенных коагулирующих частиц:

.   (3.13.39)

Здесь u = 2Drga2 / 9h — скорость оседания первичных частиц относительно среды (по Стоксу), h — вязкость среды, , а j  = j (H, t) — искомое распределение твердой фазы j по высоте H в различные моменты времени t от начала процесса коагуляции и оседания. Координата H указывает расстояние слоя взвеси от дна сосуда. Производная , поэтому в уравнении (3.13.39) обе величины в квадратных скобках положительны.

Фактически выражение (3.13.39) является символической записью двух разных уравнений. В представленной выше форме, но при t m = 0, оно сводится к рассмотренному ранее уравнению оседания монодисперсной неструктурированной суспензии. Это состояние реализуется, если объемная доля флокул Y = jme во взвеси еще не достигла некоторой критической величины b , при которой происходит структурирование взвеси, т. е. объединение флокул в сплошную сетку. Величина b представляет собой объемную долю частиц или флокул при их плотной упаковке. Соответственно (1 – b ) — это доля свободного пространства, наличие которого необходимо, чтобы взаимное перемещение частиц (флокул) стало хотя бы геометрически возможным.

Условие перехода в структурированное состояние Yb выполняется при увеличении среднего числа частиц m во флокуле до критического значения mc = (b / j ) 1 / e . Подстановка этой величины вместо m в уравнение (3.13.39) преобразует первые два сомножителя (1 - jme)mc этого уравнения в сомножители (1 - b)(b /j)e -1. Одновременно взвесь приобретает прочность, т. е. величина t m принимает некоторое конечное по величине значение. В этом случае уравнение (3.13.39) описывает динамику уплотнения структурированной суспензии, которая как раз и характеризуется определенной прочностью t структурной сетки. В нем уже не фигурируют параметры отдельных флокул, и поэтому уравнение динамики уплотнения структурированной суспензии (3.13.40) [12] применимо вне зависимости от выбора модели процесса оседания и структурирования — простой модели монодисперсных флокул или более реалистичной модели полидисперсных флокул:

.(3.13.40)

Из уравнения динамики (3.13.40) и условия прекращения оседания (u = 0) получается уравнение равновесного распределения вещества в структурированной взвеси с ограниченной прочностью структуры:

.   (3.13.41)

Оно связывает концентрации j дисперсной фазы и координаты H двух произвольных слоев, концентрации и координаты которых отмечены нижними индексами 1 и 2. В частности, если приписать этим слоям значения концентраций, равные 0 и b , можно получить уравнение, описывающее максимально возможную высоту Hv слоя переменной концентрации, который может образоваться над предельно уплотненным слоем с концентрацией, равной b :

. (3.13.42)

При R стремящемся к бесконечности, когда исчезает влияние стенок сосуда на распределение вещества в осадке, это выражение сводится к формуле

. (3.13.43)

Такие условия создаются при оседании взвесей в водоемах.

При разумных предположениях относительно величины сил сцепления частиц и их размере порядка 10–6 м толщина переходного слоя между плотным осадком и очищенной от частиц средой колеблется от нескольких миллиметров до десятков сантиметров.

В уравнении динамики (3.13.39) величины j и m являются функциями координат и времени. При коагуляции они связаны уравнениями кинетики коагуляции, а после перехода в структурированное состояние такая связь теряется. В случае монодисперсных флокул изменение dn/dt концентрации частиц n в данном слое складывается из изменения их концентрации за счет коагуляции и за счет переноса частиц из соседних слоев, согласно формуле

. (3.13.44)

Здесь первое слагаемое упрощенно — через средние значения параметров s и n коагулирующей взвеси — описывает вклад коагуляции, а второе — вклад переноса вещества в общий эффект изменения числовой концентрации частиц (флокул). Это уравнение является упрощенным вариантом уравнения (3.13.36) из предыдущего подраздела. Коэффициент s представляет константу скорости коагуляции: s = 8kT / 3h , а q — коэффициент переноса, в частности, q = du/dH, если имеется продольный градиент скорости оседания частиц, который и означает сжатие слоя взвеси.

Решение уравнения (3.13.44) дает концентрацию n2 через некоторый интервал времени t, начиная от произвольного момента времени, при котором взвесь имела концентрацию n1:

(3.13.45)

Здесь величина 1/sn1 является мгновенным значением времени половинной коагуляции t*, выраженным через концентрацию флокул n1 в текущий момент времени. В частном случае du/dH ® 0 этот результат сводится к простейшему варианту уравнений кинетики коагуляции, а при s ® 0 (отсутствию коагуляции) — к уравнению переноса частиц, являющемуся решением его дифференциальной формы:

(3.13.46)

Выражение (3.13.46) можно также рассматривать как уравнение деформации (продольного сжатия столба взвеси), результатом чего и является повышение концентрации в различных слоях столба. В связи с этим следует указать на существование альтернативных способов описания больших деформаций. Принятый здесь способ соответствует деформации по Генки [15], отвечающей требованию аддитивности последовательных ступенчатых деформаций, которое является совершенно обязательным при описании процесса уплотнения структурированной суспензии как последовательности локальных сжатий каждого слоя суспензии.

После перехода суспензии в структурированное состояние прекращаются коагуляционные процессы, скорость которых отражается в уравнении (3.13.44) константой s. Указанный переход контролируется соотношением величин m и mc для каждого слоя взвеси при условии, что прочность флокул достаточна для того, чтобы они не разрушались под действием собственного веса. В обратном случае возможное наибольшее число частиц в одной флокуле будет ограничено ее гидродинамически равновесным размером и соответствующим этому размеру числом частиц во флокуле mg. Таким образом, сила сцепления частиц влияет на режим оседание не только в структурированном (через величину t ), но и в доструктурном состоянии.

Процесс сжатия описывается системой уравнений (3.13.40) и (3.13.46). Ее решение возможно только численными методами, в том числе в рамках алгоритма, который описан в предыдущем подразделе применительно к решению системы уравнений (3.13.33), (3.13.36) и дополнен расчетом сжатия структурированного столба взвеси. Путем варьирования размера, концентрации и силы сцепления частиц, фрактальной размерности флокул и константы скорости коагуляции (замедления коагуляции) с помощью указанного алгоритма решения системы уравнений (3.13.33), (3.13.40), (3.13.46) можно воспроизвести любой известный из опыта тип эволюции взвеси.

Кинетика, динамика и равновесное состояние взвесей имеют отношение не только к проблемам промышленной переработки дисперсных систем и очистки стоков, но и к глобальным процессам формирования осадочных горных пород, к структуре и концентрационным профилям уже имеющихся отложений на дне морей и океанов, что непосредственно связано с акустическими свойствами донных отложений, т. е. с вопросами навигации, разведки ископаемых и т. д.

назад

далее